Jaka matematyka dla humanistów?

Podejmuję temat, zachęcony przez komentatorów w „Studiu Opinii”, szczególnie zaś – paradoksalnie – przez tych, którzy uważają, że wyższa (a w gruncie rzeczy w ogóle żadna…) matematyka nie jest humanistom i „zwykłym” przyrodnikom do niczego potrzebna.
Zacznę od tego – panowie – że… przyznam wam rację. Przy jednym zastrzeżeniu: że słowo „matematyka” będziemy rozumieć tradycyjnie, po szkolnemu.

Bardzo wielu ludzi, którzy kontakt z matematyką zakończyli właśnie w szkole, widzi tę dziedzinę wiedzy jako naukę o działaniach na różnych rodzajach liczb, w istocie – rodzaj skomplikowanej buchalterii. Matematyka jawi się im jako zestaw najrozmaitszych dawno wymyślonych i raz na zawsze „zatwierdzonych” wzorków i regułek, które trzeba było niegdyś – delikatnie mówiąc, bez żadnej radości – wykuć na pamięć. Myślą oni, że im o wyższej matematyce mówimy, tym na większych liczbach rachujemy, a stosowane wzory stają się bardziej skomplikowane.  Przyznają, że matematyka jest ważna, bo dzięki niej jakoś tam wylicza się konstrukcje mostów albo robi wielce użyteczne spisy ludności. Słowem sądzą, że matematyka – to wyłącznie zastosowania.

Tak oczywiście nie jest. Gdyby tak było, to naturalnie taka matematyka nie byłaby niemal nikomu potrzebna; może właśnie poza technikami, którzy podstawiają sobie do wzorków jakieś dane i wychodzi im z tego gdzie ewentualnie wkręcić jakąś śrubkę, albo robiącymi marketingowe opracowania statystykami.

Nie byłoby wówczas warto tego uczyć przez ponad dziesięć lat w szkole przyszłych historyków, lekarzy, poetów…

Niestety, tego mniej więcej się właśnie w typowej szkole – nie tylko polskiej – uczy. I w tym sensie przyznaję rację ludziom do matematyki nastawionym niechętnie.

Wiele lat temu przeżyłem naprawdę niezwykłą przygodę.  W trakcie najzupełniej towarzyskiej i prywatnej rozmowy z dyrektorką bardzo renomowanego warszawskiego liceum – opowiedziałem jej, jak sobie wyobrażam naukę matematyki w klasach humanistycznych. Żal mi było tej zdolnej młodzieży, która musiała wkuwać jakieś durnowate formułki, więc gadałem pewno z pasją, zresztą temat „od zawsze” leżał mi wątrobie. No i owa dama zareagowała w sposób zupełnie niesłychany, żeby nie powiedzieć szalony; powiedziała mianowicie „no to niech pan weźmie pierwszą klasę i doprowadzi ją do matury wedle własnego programu, zobaczymy co z tego wyniknie; nikt się panu nie będzie wtrącał”.

Przez ładnych kilka lat uczyłem matematyki studentów. Ale to byli studenci… matematyki, albo elektroniki. Rozmowa o tych tematach z humanistami była nieco ryzykowna – tym bardziej, że w momencie otrzymania propozycji od dawna byłem „matematycznie nieczynny”, rzuciwszy tę dyscyplinę dla dziennikarstwa naukowego. Pomyślałem jednak, że skoro ta miła kobieta może zaryzykować, a ryzykowała przecież sporo, nasza znajomość była dość krótka – to byłoby niehonorowe wyzwania nie podjąć.

Nie opiszę tu ze szczegółami mojej przygody nauczycielskiej. Powiem tylko: fajna była, a pochwalę się, że spośród moich uczniów paru porobiło całkiem spektakularne kariery; jest to, naturalnie, wyłącznie kwestia ich talentów, nie mojego nauczania – w końcu te kariery z matematyką ani żadną nauką ścisłą nie mają nic wspólnego.

W każdym razie, kiedy się czasem spotkamy – „przybijamy piątkę” bez obrzydzenia. Nie o to jednak chodzi. Opowiem, czego ich uczyłem. Ale zacznę od tego, czego nie uczyłem.

Nie uczyłem ich więc wzorków. Nie sądzę, by ktokolwiek z nich umiał wtedy – albo dziś – rozwiązać równanie kwadratowe, prawdę mówiąc. Nie uczyłem ich także żadnych „rachunków na wielkich liczbach” – jakoś bardzo im i mnie  przypadło do przekonania spostrzeżenie jednego z wielkich polskich uczonych, że matematykowi w gruncie rzeczy wystarczy znajomość zera, jedynki, liczby „pi” i liczby „e”, a już liczba dwa jest dla niego absolutną egzotyką. Nie napełnialiśmy wanien z wodą z dwóch kranów, nie jeździliśmy pociągami z miasta A do miasta B. Nic z tych rzeczy.

Mówiłem im natomiast, i starłem się to wykazać, że matematyka – choć historycznie jest abstrakcyjnym uogólnieniem ludzkiej obserwacji świata fizycznego – już dawno przestała mieć jakikolwiek związek z Przyrodą i tak zwaną rzeczywistością. Jest od co najmniej stulecia wiedzą samą w sobie i samą dla siebie. Jest swoistą abstrakcyjną grą, której reguły wybieramy sami i sami ze sobą w nią gramy; albo lepiej – jest uniwersalnym językiem, doskonale służącym do opisu zjawisk, ale nie mówiącym o żadnych „prawdach”, a już na pewno nie o „prawdach oczywistych” jak epokę temu definiowano aksjomaty i pewniki.

Pokazywałem im zmienność i ewolucję  poglądów, niezwykle charakterystyczną dla tej dziedziny wiedzy. Myślę, że młody, z natury mniej lub bardziej buntowniczy umysł, z radością dowiadywał się, że i w matematyce nie ma żadnych „prawd ostatecznych”: że proste równoległe mogą mieć czasami punkt wspólny, że w pewnych okolicznościach suma kątów w trójkącie nie jest równa 180 stopni, że pomiędzy nieskończonością opisującą zbiór liczb naturalnych a nieskończonością opisującą zbiór liczb rzeczywistych można czasem wstawić jeszcze jedną nieskończoność – a czasem nie…

Niektórzy byli bardzo zadowoleni, że słyszą herezje, za które w sąsiedniej szkole dostaliby z miejsca siarczystą „pałę” – a to jest prawda…

Tylko może troszkę niekonwencjonalnie określona.

Że czasami ze zbioru zbiorów da się wybrać po jednym elemencie, a czasem – nie, i że jeśli da się wybrać, to tym samym – nieuchronnie! – dowolną kulę można tak podzielić na kawałki, aby się z nich dało złożyć dwie identyczne z wyjściową (tu jeden z moich uczniów zauważył, że to stwierdzenie, zwane „paradoksalnym rozkładem kuli”, zapewne tłumaczy znany cud rozmnożenia chleba – wychodzi na to, że Ktoś znał i umiał stosować pewnik wyboru…). Ale świat z tym paradoksem nie jest bardziej słuszny ani bardziej prawdziwy od tego, w którym ów paradoks nie jest możliwy.

Pobawiliśmy się trochę – nie wszystko naturalnie nazywając po imieniu – topologią i teorią przestrzeni metrycznych. Bardzo ich – pamiętam – cieszyło, że tost z wędliną da się jednym cięciem noża podzielić tak, by i chleb, i masło, i wędlina zostały przepołowione. I że kiedy hipopotam zamyka oko, to mu się musi gdzieś skóra rozciągnąć, albo że na kuli ziemskiej zawsze muszą znaleźć się dwa przeciwległe punkty, w których panuje to samo ciśnienie i temperatura – i że jedno, i drugie, i trzecie, to przetłumaczone na „ludzki język” bardzo trudne twierdzenia matematyczne.

Poszaleliśmy trochę z tą matematyką. Nie przejmowałem się – nie musiałem wówczas – jakimś „minimum programowym” ani w ogóle żadnym programem (realizowałem wszak „pomysł autorski”), nie ucząc więc moich młodych przyjaciół żadnych technik rachunkowych – pomogłem im zrozumieć na przykład, że budzące zgrozę u wielu pojęcie całki, to w gruncie rzeczy zwykłe pole, zaś pojęcie pochodnej – to prędkość. I że drugą pochodną drogi po czasie oblicza… samochód, jak mu się nadepnie na pedał gazu. Nie skończyliśmy na matematyce liczb rzeczywistych; rozmawialiśmy o liczbach zespolonych i ich różnych interpretacjach, o kwaternionach, o oktawach Cayleya. Doszliśmy chyba wspólnie (bez szczegółów naturalnie) aż do twierdzenia Frobeniusa – tak trudnego, że jego dowodu nie ma w podręcznikach… dla studentów matematyki.

Myślę, że zrozumieli i wiedzą, że matematyka nie jest nauką zamkniętą ani skończoną. Że co roku publikuje się dowody setek i tysięcy nowych twierdzeń i wprowadza dziesiątki nieznanych dotychczas pojęć i punktów widzenia.  Powinni wiedzieć, że żyjemy w czasach, w których jest to dyscyplina tak rozległa, że jeden matematyk najczęściej nie rozumie z pracy drugiego niemal nic poza spójnikami, i że to jest normalne, naturalne i cudowne. Że – co więcej – nie ma już od dawna jednej matematyki, tylko są najzupełniej różne matematyki, i żadna nie jest od innej bardziej prawdziwa.

Słowem – moi uczniowie zdobyli (przynajmniej niektórzy, bo miałem i takich, których to wszystko razem dokładnie nic nie obchodziło – i też powychodzili na ludzi…) coś, co wielki sędziwy matematyk, którego miałem przed laty zaszczyt być słuchaczem, profesor Krzysztof Maurin mianowicie, nazywał „taką ogólną kulturą matematyczną”.

I to jest odpowiedź na to, co powinien wiedzieć o matematyce rasowy humanista: niekoniecznie znać szczegóły tego-czy-owego. Mieć właśnie „taką ogólną kulturę matematyczną”. Na pewno nie musi umieć „liczyć na bardzo dużych liczbach”. Dobrze by było, żeby wiedział, iż Pitagoras, Leibniz, Gauss i Banach uprawiali ten sam zawód.

Nawiasem mówiąc, profesor Maurin dostrzegał braki owej „ogólnej kultury matematycznej” także u wielu… zawodowych matematyków.

Bogdan Miś

PS. Dla ciekawych: moja „kariera” nauczycielska zakończyła się wraz z przejściem na emeryturę wspomnianej pani dyrektor. Zadanie wykonaliśmy, klasa doszła do matury. Z jej następczynią (bezkonfliktowo) uzgodniliśmy, że eksperyment z wpajaniem humanistom kultury matematycznej uznajemy za zamknięty. W polskiej szkole kończył się okres potransformacyjnych szaleństw. Nadchodziły ściśle zdefiniowane przez MEN reguły i, za przeproszeniem, reformy.

 

Reklama