Jaka matematyka dla humanistów?

science-mathematics_00336495Podejmuję temat, zachęcony przez komentatorów w „Studiu Opinii”, szczególnie zaś – paradoksalnie – przez tych, którzy uważają, że wyższa (a w gruncie rzeczy w ogóle żadna…) matematyka nie jest humanistom i „zwykłym” przyrodnikom do niczego potrzebna.
Zacznę od tego – panowie – że… przyznam wam rację. Przy jednym zastrzeżeniu: że słowo „matematyka” będziemy rozumieć tradycyjnie, po szkolnemu.

Bardzo wielu ludzi, którzy kontakt z matematyką zakończyli właśnie w szkole, widzi tę dziedzinę wiedzy jako naukę o działaniach na różnych rodzajach liczb, w istocie – rodzaj skomplikowanej buchalterii. Matematyka jawi się im jako zestaw najrozmaitszych dawno wymyślonych i raz na zawsze „zatwierdzonych” wzorków i regułek, które trzeba było niegdyś – delikatnie mówiąc, bez żadnej radości – wykuć na pamięć. Myślą oni, że im o wyższej matematyce mówimy, tym na większych liczbach rachujemy, a stosowane wzory stają się bardziej skomplikowane.  Przyznają, że matematyka jest ważna, bo dzięki niej jakoś tam wylicza się konstrukcje mostów albo robi wielce użyteczne spisy ludności. Słowem sądzą, że matematyka – to wyłącznie zastosowania.

Tak oczywiście nie jest. Gdyby tak było, to naturalnie taka matematyka nie byłaby niemal nikomu potrzebna; może właśnie poza technikami, którzy podstawiają sobie do wzorków jakieś dane i wychodzi im z tego gdzie ewentualnie wkręcić jakąś śrubkę, albo robiącymi marketingowe opracowania statystykami.

Nie byłoby wówczas warto tego uczyć przez ponad dziesięć lat w szkole przyszłych historyków, lekarzy, poetów…

Niestety, tego mniej więcej się właśnie w typowej szkole – nie tylko polskiej – uczy. I w tym sensie przyznaję rację ludziom do matematyki nastawionym niechętnie.

Wiele lat temu przeżyłem naprawdę niezwykłą przygodę.  W trakcie najzupełniej towarzyskiej i prywatnej rozmowy z dyrektorką bardzo renomowanego warszawskiego liceum – opowiedziałem jej, jak sobie wyobrażam naukę matematyki w klasach humanistycznych. Żal mi było tej zdolnej młodzieży, która musiała wkuwać jakieś durnowate formułki, więc gadałem pewno z pasją, zresztą temat „od zawsze” leżał mi wątrobie. No i owa dama zareagowała w sposób zupełnie niesłychany, żeby nie powiedzieć szalony; powiedziała mianowicie „no to niech pan weźmie pierwszą klasę i doprowadzi ją do matury wedle własnego programu, zobaczymy co z tego wyniknie; nikt się panu nie będzie wtrącał”.

Przez ładnych kilka lat uczyłem matematyki studentów. Ale to byli studenci… matematyki, albo elektroniki. Rozmowa o tych tematach z humanistami była nieco ryzykowna – tym bardziej, że w momencie otrzymania propozycji od dawna byłem „matematycznie nieczynny”, rzuciwszy tę dyscyplinę dla dziennikarstwa naukowego. Pomyślałem jednak, że skoro ta miła kobieta może zaryzykować, a ryzykowała przecież sporo, nasza znajomość była dość krótka – to byłoby niehonorowe wyzwania nie podjąć.

Nie opiszę tu ze szczegółami mojej przygody nauczycielskiej. Powiem tylko: fajna była, a pochwalę się, że spośród moich uczniów paru porobiło całkiem spektakularne kariery; jest to, naturalnie, wyłącznie kwestia ich talentów, nie mojego nauczania – w końcu te kariery z matematyką ani żadną nauką ścisłą nie mają nic wspólnego.

W każdym razie, kiedy się czasem spotkamy – „przybijamy piątkę” bez obrzydzenia. Nie o to jednak chodzi. Opowiem, czego ich uczyłem. Ale zacznę od tego, czego nie uczyłem.

Nie uczyłem ich więc wzorków. Nie sądzę, by ktokolwiek z nich umiał wtedy – albo dziś – rozwiązać równanie kwadratowe, prawdę mówiąc. Nie uczyłem ich także żadnych „rachunków na wielkich liczbach” – jakoś bardzo im i mnie  przypadło do przekonania spostrzeżenie jednego z wielkich polskich uczonych, że matematykowi w gruncie rzeczy wystarczy znajomość zera, jedynki, liczby „pi” i liczby „e”, a już liczba dwa jest dla niego absolutną egzotyką. Nie napełnialiśmy wanien z wodą z dwóch kranów, nie jeździliśmy pociągami z miasta A do miasta B. Nic z tych rzeczy.

Mówiłem im natomiast, i starłem się to wykazać, że matematyka – choć historycznie jest abstrakcyjnym uogólnieniem ludzkiej obserwacji świata fizycznego – już dawno przestała mieć jakikolwiek związek z Przyrodą i tak zwaną rzeczywistością. Jest od co najmniej stulecia wiedzą samą w sobie i samą dla siebie. Jest swoistą abstrakcyjną grą, której reguły wybieramy sami i sami ze sobą w nią gramy; albo lepiej – jest uniwersalnym językiem, doskonale służącym do opisu zjawisk, ale nie mówiącym o żadnych „prawdach”, a już na pewno nie o „prawdach oczywistych” jak epokę temu definiowano aksjomaty i pewniki.

Pokazywałem im zmienność i ewolucję  poglądów, niezwykle charakterystyczną dla tej dziedziny wiedzy. Myślę, że młody, z natury mniej lub bardziej buntowniczy umysł, z radością dowiadywał się, że i w matematyce nie ma żadnych „prawd ostatecznych”: że proste równoległe mogą mieć czasami punkt wspólny, że w pewnych okolicznościach suma kątów w trójkącie nie jest równa 180 stopni, że pomiędzy nieskończonością opisującą zbiór liczb naturalnych a nieskończonością opisującą zbiór liczb rzeczywistych można czasem wstawić jeszcze jedną nieskończoność – a czasem nie…

Niektórzy byli bardzo zadowoleni, że słyszą herezje, za które w sąsiedniej szkole dostaliby z miejsca siarczystą „pałę” – a to jest prawda…

Tylko może troszkę niekonwencjonalnie określona.

Że czasami ze zbioru zbiorów da się wybrać po jednym elemencie, a czasem – nie, i że jeśli da się wybrać, to tym samym – nieuchronnie! – dowolną kulę można tak podzielić na kawałki, aby się z nich dało złożyć dwie identyczne z wyjściową (tu jeden z moich uczniów zauważył, że to stwierdzenie, zwane „paradoksalnym rozkładem kuli”, zapewne tłumaczy znany cud rozmnożenia chleba – wychodzi na to, że Ktoś znał i umiał stosować pewnik wyboru…). Ale świat z tym paradoksem nie jest bardziej słuszny ani bardziej prawdziwy od tego, w którym ów paradoks nie jest możliwy.

Pobawiliśmy się trochę – nie wszystko naturalnie nazywając po imieniu – topologią i teorią przestrzeni metrycznych. Bardzo ich – pamiętam – cieszyło, że tost z wędliną da się jednym cięciem noża podzielić tak, by i chleb, i masło, i wędlina zostały przepołowione. I że kiedy hipopotam zamyka oko, to mu się musi gdzieś skóra rozciągnąć, albo że na kuli ziemskiej zawsze muszą znaleźć się dwa przeciwległe punkty, w których panuje to samo ciśnienie i temperatura – i że jedno, i drugie, i trzecie, to przetłumaczone na „ludzki język” bardzo trudne twierdzenia matematyczne.

Poszaleliśmy trochę z tą matematyką. Nie przejmowałem się – nie musiałem wówczas – jakimś „minimum programowym” ani w ogóle żadnym programem (realizowałem wszak „pomysł autorski”), nie ucząc więc moich młodych przyjaciół żadnych technik rachunkowych – pomogłem im zrozumieć na przykład, że budzące zgrozę u wielu pojęcie całki, to w gruncie rzeczy zwykłe pole, zaś pojęcie pochodnej – to prędkość. I że drugą pochodną drogi po czasie oblicza… samochód, jak mu się nadepnie na pedał gazu. Nie skończyliśmy na matematyce liczb rzeczywistych; rozmawialiśmy o liczbach zespolonych i ich różnych interpretacjach, o kwaternionach, o oktawach Cayleya. Doszliśmy chyba wspólnie (bez szczegółów naturalnie) aż do twierdzenia Frobeniusa – tak trudnego, że jego dowodu nie ma w podręcznikach… dla studentów matematyki.

Myślę, że zrozumieli i wiedzą, że matematyka nie jest nauką zamkniętą ani skończoną. Że co roku publikuje się dowody setek i tysięcy nowych twierdzeń i wprowadza dziesiątki nieznanych dotychczas pojęć i punktów widzenia.  Powinni wiedzieć, że żyjemy w czasach, w których jest to dyscyplina tak rozległa, że jeden matematyk najczęściej nie rozumie z pracy drugiego niemal nic poza spójnikami, i że to jest normalne, naturalne i cudowne. Że – co więcej – nie ma już od dawna jednej matematyki, tylko są najzupełniej różne matematyki, i żadna nie jest od innej bardziej prawdziwa.

Słowem – moi uczniowie zdobyli (przynajmniej niektórzy, bo miałem i takich, których to wszystko razem dokładnie nic nie obchodziło – i też powychodzili na ludzi…) coś, co wielki sędziwy matematyk, którego miałem przed laty zaszczyt być słuchaczem, profesor Krzysztof Maurin mianowicie, nazywał „taką ogólną kulturą matematyczną”.

I to jest odpowiedź na to, co powinien wiedzieć o matematyce rasowy humanista: niekoniecznie znać szczegóły tego-czy-owego. Mieć właśnie „taką ogólną kulturę matematyczną”. Na pewno nie musi umieć „liczyć na bardzo dużych liczbach”. Dobrze by było, żeby wiedział, iż Pitagoras, Leibniz, Gauss i Banach uprawiali ten sam zawód.

Nawiasem mówiąc, profesor Maurin dostrzegał braki owej „ogólnej kultury matematycznej” także u wielu… zawodowych matematyków.

Bogdan Miś

PS. Dla ciekawych: moja „kariera” nauczycielska zakończyła się wraz z przejściem na emeryturę wspomnianej pani dyrektor. Zadanie wykonaliśmy, klasa doszła do matury. Z jej następczynią (bezkonfliktowo) uzgodniliśmy, że eksperyment z wpajaniem humanistom kultury matematycznej uznajemy za zamknięty. W polskiej szkole kończył się okres potransformacyjnych szaleństw. Nadchodziły ściśle zdefiniowane przez MEN reguły i, za przeproszeniem, reformy.

 

11 thoughts on “Jaka matematyka dla humanistów?

  1. Moim zdaniem warto się postarać, by określenie „humanista” ustąpiło miejsca „osobie o przewadze inteligencji werbalnej”. Może byłoby to i wbrew tendencji do ekonomizacji środków językowych, ale za to w zgodzie z rzeczywistością.

  2. „Humanista” to słowo na wyrost, przynajmniej w kontekście polskiej szkoły – zazwyczaj tym mianem określają się ludzie, których źle nauczano matematyki i wskazuje ono bardziej na „jestem na bakier z przedmiotami ścisłymi” niż „jestem wszechstronnie wykształcony w zakresie kultury, języka i sztuki”. Przynajmniej takie wrażenie odnoszę, ilekroć słyszę od młodych, że są „humanistami”. Dziwne, bo przecież język to matematyka, powinni być mistrzami logiki po lekcjach gramatyki…
    Matematyka uczy myślenia. Pojęłam to dopiero w liceum (wspaniała nauczycielka), zaakceptowałam i zaczęłam korzystać. Wcześniej po prostu byłam matematyką zanudzana przez nauczycielkę bez wyobraźni. Czasem trzeba posłużyć się prostą analogią by przybliżyć jakieś abstrakcje mniej lotnym umysłom, nie wszyscy nauczyciele niestety to potrafią i tak zaczyna się błędne koło matematycznej fobii. A matma jest fascynująca.

  3. Próbowałam sama robić coś podobnego, tylko dużo na mniejszą skalę, (jednoosobową) więc rozumiem, jak dużo satysfakcji może komuś daćinspirowanie kogoś matematyką.🙂 Miałam raz partnerkę, która jest humanistką – interesuje się historią i literaturą, ale matematykę uważała za przerażające „coś” co próbuje mówić, że ma absolutną słuszność i nie ma w niej miejsca dla wyobraźni oraz innych niż jedna-jedyna interpretacji świata. Miło było poopowiadać jej o ciekawych dla mnie rzeczach, o których w ogóle w liceach nie mówią i pewnie nigdy nie będą, i okazało się że dla niej było to też ciekawe, jeśli bylo podane bez używania symboliki wygladającej dla niej jak język chiński.🙂

  4. To jest wszystko bardzo ładne i, szczerze pisząc – zazdroszczę tym uczniom wiedzy, którą poznali. Ja się tego wszystkiego dowiedziałem dopiero na studiach (matematycznych), ubrane w odpowiednie skomplikowane wzory.
    Ale – jedno tylko pytanie – czy Ci absolwenci mają Pana zdaniem jakiekolwiek szanse ze zrozumieniem (i stosowaniem!) pojęcia ‚procent składany’ i policzeniem pola równoległoboku?
    O pole równoległoboku pytam nieprzypadkowo – znajomego (humanistę) dziecko (w szóstej klasie wówczas) uratowało przed fachowcem, który za położenie dachu umówiony był ‚od metra kwadratowego’ a liczył go mnożąc długości boków sąsiednich.

    1. Procent składany z pewnością tak. Pole równoległoboku: a po cholerę im to -i inne wzory? Mają smartfony czy kalkulatory, mogą stuknąć w klawisze! Nie ma podstaw, by uważąć mechniczne młócenie w pamięci tabliczki mnożenia na przykład za coś wartościowszego intelektualnie od posługiwania się takim urządzeniem, tak sądzę. Jesteśmy po prostu śwaidkami pewnej zmainy paradygmatu zachowań, jeśli idzie o liczenie/myślenie.

  5. Bogdanie, po pierwsze oświadczam, że potwornie ci zazdroszczę twojego eksperymentu dydaktycznego. Nie miałem nigdy takiej okazji i żałuję tego.

    Teraz parę uwag krytycznych:
    Piszesz tak – „matematyka – choć historycznie jest abstrakcyjnym uogólnieniem ludzkiej obserwacji świata fizycznego – już dawno przestała mieć jakikolwiek związek z Przyrodą i tak zwaną rzeczywistością. Jest od co najmniej stulecia wiedzą samą w sobie i samą dla siebie. Jest swoistą abstrakcyjną grą”. Według mnie – to nieprawda! Człowiek, jako byt materialny, zanurzony w materii kompletnie i po uszy, nie jest w stanie wymyślić absolutnie niczego, czego nie byłoby w jakiejś formie i postaci w naturze. Prawdziwa jest teza Lema, który uznał matematykę za szalonego krawca, który szyje garnitury na wszelkie możliwe stwory – słonia i ośmiornicę i kraba, ale także na wszelkie stwory wyobrażone – gryfa, Scylle i Charybdę i cokolwiek jeszcze potrafimy sobie wyobrazić – ponieważ nasza wyobraźnia jest materialnie uwarunkowana i należy do naszego, materialnego świata. Ja mu wierzę i uważam, że matematyk, w tej swoje wspaniałej, totalnej wolności tworzenia, której sam doświadczyłem, odtwarza „miarę i proporcje” materialnego świata. Dlatego najdziksze nawet pomysły matematyków w końcu znajdują zastosowanie choćby w fizyce teoretycznej czy kosmogonii.

    Piszesz dalej słusznie, że matematyka – „jest uniwersalnym językiem, doskonale służącym do opisu zjawisk, ale nie mówiącym o żadnych „prawdach”, a już na pewno nie o „prawdach oczywistych” jak epokę temu definiowano aksjomaty i pewniki” – Tu powinieneś wyjaśnić, o co ci dokładnie chodzi. Otóż matematyka nie rozstrzyga o prawdziwości sądów wyrażonych w jej języku. O tym rozstrzyga doświadczenie. Pewniki teorii matematycznej – np., geometrii klasycznej, euklidesowej – trzeba odnieść do rzeczywistości i udowodnić, że do niej pasują. Wtedy pasować będzie cała teoria. A jak nie – to nie.

    Dalej wpadasz w straszliwy życiowy problem pewnego wielkiego matematyka, który przezeń wpadł w obłęd. Chodzi o hipotezę continuum, czyli założenie, że pomiędzy nieskończonością o mocy liczb naturalnych, a nieskończonością o mocy zbioru zbiór liczb rzeczywistych „można czasem wstawić jeszcze jedną nieskończoność – a czasem nie” – jak piszesz. Otóż – nie, to nieprawda! Niestety, nie ma tam między nimi żadnej pośredniej nieskończoności. Próbując to zrobić oszalał był niegdyś wielki matematyk – Cantor. A problem jest niesamowicie ważny dla naszego oglądu natury, bo wiąże się z podejściem korpuskularnym (dyskretnym) do materii i alternatywnym podejściem „ciągłym” – więc np. falowym. Jak widać, matematyka jest w jakimś sensie nauką przyrodniczą i wielkie dzięki za to porządkowi świata! Skąd by się on nie wziął (tu ukłon dla ludzi wierzących…)
    W

    1. Owszem – wszystko co możemy sobie wyobrazić wynika z rzeczywistości, ale czy wszystko, co można wyprowadzić z rzeczywistości musi być jej częscią? Albo – czyj jeśli czegoś nei umiemy sobie wyorazić (bo nie istnieje w obserwowanym przez nas świecie) to oznacza, że tego nie ma?

      Sprawdzanie doswiadczalne wiąże się z założeniem wielu innych rzeczy niżtylko matematycznych aksjomatów, więc sprawdza nie tyle, czy coś jest prawdziwe w matematyce, a w „matematyce + coś jeszcze” – co jeśli właśnie te dodatki przesądzają o potwierdzeniu doswiadczalnym, a nie matematyka?

      Może w świecie fizycznym istnieją tylko dwie nieskońcozności, ale w innych fizykach mogłoby istnieć więcej – i można by było być może zastosować tam naszą matematykę, czy nie oznacza to, że matematyka jest czymś szerszym niż rzeczywistość fizyczna?🙂

  6. Problem z matematyką w Polsce leży nie w jej trudności, ale sposobie nauczania. Popytaj ludzi, którzy matmę mają w małym palcu, jak oceniają swoich dawnych nauczycieli. Większość powie Ci, że to ludzie nie potrafiący przekazać swojej wiedzy. A owi geniusze nauczyli się liczyć sami. Na lekcjach radzili sobie, bo już wszystko umieli wcześniej. To się zaczyna już w podstawówce, na tych cholernych grafach. Kto liczy w ten sposób??? Jeśli już na starcie nie uczymy liczyć efektywnie w pamięci, tylko zmuszamy do jakichś idiotyzmów wymyślonych 50 lat temu przez jakiegoś kretyna teoretyka, to trudno się dziwić. Wystarczy popatrzeć, jak uczeni są liczenia Chińczycy lub Japończycy. Racja, że tam jest wariactwo w drugą stronę, uczniowie nie mają życia, taka presja, ale sposoby liczenia są nieco inne i łatwiejsze do przyswojenia. Właśnie na etapie małego dziecka człowiek się zraża do matematyki, nabiera mnóstwo zaległości, a potem są tego efekty w późniejszych latach.

    1. Absolutna prawda. Ale ja miałem szczęście: znałem dwoje genialnych nauczycieli matematyki. Obydwoje wychowali po kilkunastu olimpijczyków, a wśród ich uczniów jest dziś kilkunastu profesorów zwyczajnych matematyki, fizyki i nauk technicznych oraz paru rektorów.No i miałem szczęście, że mnie uczyli matematyki klasycznie…

Możliwość komentowania jest wyłączona.